Математический анализ, пределы, вычисление интеграла. Решение задач. Начертательная геометрия

Машиностроительное черчение
http://kurspr.ru/
Разьемные соединения
Соединение шпилькой, трубное
Эскизирование деталей
Работа с трёхмерной графикой
Начертательная геометрия
Компьютерная графика
Моделирование
http://kursmt.ru/
Анимация
Модели цифровых
фотоаппаратов
Софт печать для
цифровой камеры
Получение качественных
фотографий
Обработка изображений
Инстументы обработки
изображений
Использование фильтров
для обработки фото
Работа с обьектами и текстом
Фильтры Adobe Illustrator
Работа с документами
в системе Maple
Форматы документов,
публикация в Web
http://kursmat.ru/
Умелые руки
Мастерская на столе
уголок для творчества
Лабораторные по электронике
рабочее место
Ящички кассетницы
Углеродистые стали
отжиг рихтовка
разметки заклепки
плашки
декапирование алюминия краски
Склеивание деталей
Фанерование
Отделка текстурованной бумагой
Грунтование
отделка мебели
Клеи, пасты, замазки,
хлопчатобумажная ткань
Резка стекла
Резьба в пластмассах
Литейные формы
Окрашивание изоляции
Клей ПВА
Шпаклевки
Эпоксидные клеи
Бормашина
Приготовление хлорного железа
Фрезерование
паяльник
деколь канифоль
Глубинное окрашивание
Информатика
Visual Studio
Maple
Графика OpenGL
Трехмерная графика
Использование фильтров
Архитектура Windows
публикация в Web
Редактор трехмерной графики
Характеристики и принципы
работы накопителей
Типы накопителей
Авторизация Категорирование
прав доступа
Профилактика ПК
Браузеры Linux электронная почта и факс
Linux рабочая станция
Linux работа в сети Windows и Novel
Linux безопасность и связь сетей с Internet
Живопись и архитектура
Искусство Китая художники
дикой природы
История искусства
Архитектурное проектирование
современный интерьер
русские усадебы
естественность природы в интерьере
Монументальное и
декоративное искусство
Масштаб произведения
Готическое искусство
Архитектура и живопись
Архитектура Франции
Собор Нотр-Дам
Шартрский собор
Английская готика
Наумбургский мастер
Никколо Пизано
Успение Богородицы
Нидерландская живопись
готическая архитектура
Сад наслаждений
Готический классицизм
рукописные книги
Техника темперной и масляной живописи
Швейцарская и французкая живопись
Раннее возраждение в Италии
античная скульптура
Гравюра на дереве
Энергетика
Термоядерный синтез
Реакторная технология
Атомные реакторы
Математика
Тройные и двойные интегралы
при решении задач
Алгебра формулы
Математический анализ Предел функции
Производная и дифференциал
интегрирование
Ввод математических выражений

Математический анализ Примеры решения задач

  • Множества. Операции над множествами В математике первичными понятиями являются понятия множества и элемента множества. Множества обозначают большими латинскими буквами A, B, ..., а их элементы – малыми a, b, ... Если элемент a принадлежит множеству A, то пишут aÎA. В противном случае пишут aÏA. Для любого множества A (непустого или пустого) полагается AÈÆ=A.
  • Логические символы В математических рассуждениях часто встречаются выражения «существует элемент», обладающий некоторыми свойствами, и «любой элемент» среди элементов, имеющих некоторое свойство. Вместо слова «существует» или равносильного ему слова «найдётся» иногда пишут символ $, т. е. перевернутую латинскую букву E (от англ. Existence существование), а вместо слов «любой», «каждый», «всякий» – символ ", т. е. перевернутое латинское A (от англ. аny любой). Символ $ называется символом существования, а символ " – символом всеобщности. Свойство непрерывности действительных чисел связано с самым простейшим использованием математики на практике – с измерением величин. При измерении какой-либо физической или какой-нибудь другой природы величины часто получают с большей или меньшей точностью её приближённые значения
  • Числовые множестваю Мощность множеств Расширенная числовая прямая Известно что между множеством действительных чисел и множеством точек числовой прямой существует взаимнооднозначное соответствие. Часто бывает удобно дополнить эти множества элементами, обозначаемыми через +¥ и –¥ и называемыми соответственно плюс и минус бесконечностями Промежутки действительных чисел
  • Производная по направлению
  • Вычислить повторный интеграл
  • Конечные и бесконечные множества. Эквивалентные множества. Мощность Рассматривая различные множества, мы замечаем, что иногда можно, если не фактически, то хотя бы примерно, указать число элементов в данном множестве. Таковы, например, множество всех вершин некоторого многогранника, множество всех простых чисел, не превосходящих данного числа, и т. д. Примеры. Множества точек на любых двух отрезках [a, b] и [c, d] эквивалентны между собой.
  • Теорема Кантора Можно доказать, что из всех бесконечных множеств счётные множества имеют наименьшую мощность, если только существуют бесконечные множества, неэквивалентные счётному. Такие множества называются несчётными, их существование следует из теоремы Кантора.
  • Верхняя и нижняя грани множества Ограниченные и неограниченные множества Введём ряд нужных в дальнейшем понятий и изучим некоторые свойства числовых множеств. Рассмотрим произвольное множество XÌ¡.
  • Решение типовых задач по математике Метод замены переменной Конспекты лекций, лабораторные и задачи курсовых работ
  • Последовательность. Предел последовательности Пусть X – какое-либо множество и ¥ – множество натуральных чисел. Если каждому элементу множества ¥ поставлен в соответствие единственный вполне определённый элемент множества X, то говорят, что задана последовательность.
  • Бесконечно малые и бесконечно большие последовательности Последовательность, имеющая своим пределом нуль, называется бесконечно малой. Теорема о единственности предела последовательности Свойство пределов последовательностей
  • Контрольная по математике Вычислить повторный интеграл .
  • Теорема. Если последовательности xn, yn имеют конечные пределы: , то их произведение также имеет конечный предел, причём .
  • Неопределённые выражения Выше были оставлены без рассмотрения случаи, когда пределы переменных xn, yn (один или оба) бесконечны или, если речь идет о частном, когда предел знаменателя равен нулю. Из этих случаев мы здесь остановимся лишь на четырёх, представляющих некоторую важную и интересную особенность.
  • Предел монотонной ограниченной последовательности Переходим к изучению вопроса о том, какими свойствами должна обладать последовательность, чтобы у неё существовал предел. Прежде чем сформулировать окончательный ответ, рассмотрим один простой и важный класс последовательностей, для которых этот вопрос решается легко. Лемма . Пусть даны монотонно возрастающая последовательность xn и монотонно убывающая последовательность yn, причём всегда
  • Критерий сходимости Больцано–Коши Общий критерий сходимости последовательности принадлежит чешскому математику Больцано и французскому математику Коши. Для его формулировки нам понадобится следующее понятие. Отсюда следует, что любая фундаментальная последовательность, начиная с некоторого номера, становится ограниченной. Число «e»
  • Определение подпоследовательности Рассмотрим теперь, наряду с последовательностью xn, какую-либо извлечённую из нее частичную последовательность (или подпоследовательность)
  • Теорема (Больцано–Вейерштрасса). Из любой ограниченной последовательности xn всегда можно извлечь такую подпоследовательность, которая сходилась бы к конечному пределу.
  • Наибольший и наименьший пределы Итак, для любой последовательности xn, будь она ограничена или нет, существуют частичные пределы. Можно показать, что среди этих частичных пределов обязательно найдутся наибольший и наименьший; они называются наибольшим и наименьшим пределами самой последовательности xn

Предел функции свойства пределов

  • Понятие функции является одним из самых важных понятий в математике и её приложениях. В курсе математического анализа будут сначала изучаться только действительные функции одного действительного аргумента, т. е. функции .
  • Рассмотрим различные способы задания функций. Прежде всего, функции могут задаваться с помощью формул: аналитический способ. Для этого используется некоторый запас изученных и специально обозначенных функций, алгебраические действия и предельный переход.
  • Элементарные функции постоянная у = с, с – константа, степенная у = xp, показательная у = aх (а>0), логарифмическая у = logaх (а>0, a¹1), тригонометрические у = sin х, у = cos х, у = tg х, у = ctg х и обратные тригонометрические у = arcsin х,
    у = arccos х, у = arctg х, у = arcctg х, а также гиперболические:
  • Дробно-рациональные функции (рациональные дроби). К этому классу относятся функции, которые могут быть заданы в виде , где Р(х) и Q(x) – многочлены, причём Q(x) – ненулевой многочлен.
  • Предел функции по Гейне Первое определение предела функции
  • Перейдём теперь к изучению одного из самых основных понятий математического анализа – понятию предела функции. Под «точками» будем понимать либо конечные точки, либо бесконечно удалённые, т. е. либо действительные числа, либо одну из бесконечностей ¥, +¥ или –¥. Дадим сначала определение предела функции в терминах пределов последовательностей. Это определение часто называют определением предела функции по Гейне.
  • Предел функции по подмножеству При рассмотрении пределов функции часто приходится иметь дело с пределами сужений функций на том или ином множестве, т. е. с пределами функций, получающихся из данных функций, рассмотрением их не на всём множестве, на котором они заданы, а на каком-то содержащемся в нём.
  • Непрерывные функции Критерий существования предела функции в точке Дадим теперь определение функции, непрерывной в данной точке. Пример. Все точки множества натуральных чисел ¥ изолированы, а множество ¤ всех рациональных чисел не имеет изолированных точек.
  • Предел функции по Коши Второе определение предела функции Существует другое определение предела функции, не использующее понятие предела последовательности, а формулируемое в терминах окрестностей и называемое определением предела функции по Коши.
  • Эквивалентность двух определений предела функции Перейдём теперь к сравнению определений предела функции по Гейне и по Коши.
  • Односторонние пределы и односторонняя непрерывность При изучении функций иногда оказывается полезным рассмотреть пределы их сужений на множествах, лежащих по одну сторону от точки, в которой рассматривается предел. Такие пределы называются односторонними пределами. Понятие предела слева (справа) при x®x0, как и вообще понятие предела в точке, содержательно только тогда, когда точка x0 является точкой прикосновения множества, по которому берётся предел.
  • Свойства пределов функции Пусть XÌ¡, x0 – точка прикосновения множества X. Справедливы следующие свойства пределов функций. Свойство. Если функции  и  таковы, что , то найдётся проколотая окрестность точки x0, на пересечении которой с множеством X выполнено неравенство f(x) < g(x).
  • Определение бесконечно малых и бесконечно больших функций Все рассматриваемые в этом и следующем пункте функции будем предполагать определёнными на множестве XÌ¡ и рассматривать их конечные и бесконечные пределы при стремлении аргумента к конечной или к бесконечно удалённой точке x0. Взаимосвязь между бесконечно малыми и бесконечно большими функциями
  • Классификация бесконечно малых функций Во многих случаях представляет интерес сравнение бесконечно малых между собой по характеру их приближения к нулю. Рассмотрим две бесконечно малые a(x) и b(x) при x®x0 и предположим, что b(x) не обращается в ноль в некоторой проколотой окрестности точки x0. Будем сравнивать эти бесконечно малые, изучая поведение их отношения при x®x0.
  • Классификация бесконечно больших функций Для бесконечно больших величин может быть развита та же классификация.
  • Точки непрерывности и точки разрыва функции
  • Криволинейные интегралы Математика Примеры решения задач контрольной работы
  • Точки разрыва функции и их классификация Пусть функция f определена в некоторой окрестности точки x0, кроме, быть может, самой этой точки. Точка x0 называется точкой разрыва функции f, если функция f не определена в точке x0 или если она определена в этой точке, но не является в ней непрерывной.
  • Критерий существования предела функции Существование предела монотонной функции Вопрос о существовании предела функции особенно просто решается для функций частного типа, представляющих обобщение понятия монотонной последовательности.
  • Критерий Коши существования предела функции В настоящем пункте по аналогии со случаем последовательностей будет получено необходимое и достаточное условие того, что функция имеет конечный предел в данной точке x0.
  • Предел и непрерывность композиции функции Рассмотрим вопрос о существовании конечных и бесконечных пределов композиции функций, каждая из которых имеет соответствующий предел. Можно показать, что все рассмотренные ранее элементарные функции и их суперпозиции непрерывны на области их определения.
  • Свойства функций, непрерывность на отрезке Предел всякой подпоследовательности последовательности, имеющей конечный или бесконечный предел, равен пределу всей последовательности
  • Промежуточные значения непрерывных на отрезке функций Теорема (теорема Больцано–Коши).
  • Непрерывность на отрезке Функция f, определённая на числовом множестве X, называется строго возрастающей (строго убывающей), если для любых двух чисел x1ÎX и x2ÎX таких, что x1<x2, выполняется неравенство f(x1)<f(x2) (соответственно f(x1)>f(x2)). Функция, строго возрастающая или строго убывающая, называется строго монотонной. В силу леммы 6, функция  однозначная и строго возрастает на отрезке Равномерная непрерывность
  • Определение производной функции Если для некоторого значения x0 существуют пределы , или , или , то говорят, что при x=x0 существует бесконечная производная или, соответственно, бесконечная производная определённого знака, равная +¥ или –¥.
  • Вычисление производной от функции называется дифференцированием. Примеры. Вычислить производную функции. Связь между дифференцируемостью и существованием производной функции Выясним теперь связь между дифференцируемостью функции в точке и существованием производной функции в той же точке. Связь между дифференцируемостью и непрерывностью функции в точке Вычислить интегралы
  • Геометрический смысл производной и дифференциала Понятия производной и дифференциала функции в данной точке связаны с понятием касательной к графику функции в этой точке. Чтобы выяснить эту связь, определим, прежде всего, касательную. Предельное положение секущей M0M при Dx®0, или, что то же, при M®M0, называется касательной к графику функции f в точке M0.
  • Физический смысл производной и дифференциала
  • Правила вычисления производных Пример. Вычислить производную функций .
  • Производная обратной функции Пользуясь формулой, вычислить производную функций .
  • Производная и дифференциал сложной функции Условие существования производной сложной функции Инвариантность формы первого дифференциала функции Следствие (инвариантность формы первого дифференциала относительно преобразования независимой переменной)
  • Гиперболические функции и их производные Функции   называются соответственно гиперболическим косинусом и гиперболическим синусом.
  • Определение производных высших порядков Производные высших порядков суммы и произведения функций
  • Производные высших порядков от сложных функций
  • Производные высших порядков от обратных функций и от функций, заданных параметрически
  • Выведем формулы для дифференцирования параметрически заданных функций. Дифференциалы высших порядков
  • Теоремы о среднем для дифференцируемых функций
  • Теорема Ферма В терминах производных оказывается удобным описывать различные свойства функций. Прежде всего, укажем характеристическое свойство точек, в которых функция принимает наибольшее или наименьшее значение
  • Теорема Ролля теорема Лагранжа Геометрический смысл теоремы Лагранжа Отметим два следствия из теоремы Лагранжа, полезные для дальнейшего. Следствие 1. Если функция f непрерывна на некотором промежутке (конечном или бесконечном) и во всех его внутренних точках имеет производную, равную нулю, то функция постоянна на этом промежутке.
  • Теорема Коши
  • О правилах Лопиталя Ранее при изучении пределов мы рассматривали неопределённости различных видов и учились раскрывать их, используя для этого специальные приёмы. Дифференциальное исчисление позволяет построить более универсальные методы вычисления неопределённых пределов. Некоторые из них, носящие общее название правил существует конечный или бесконечный, равный +¥ или –¥, предел . Неопределённости вида
  • Вывод формулы Тейлора Формула называется формулой Тейлора n-го порядка с остаточным членом в форме Пеано. Следствие. Пусть функция  определена на интервале , и пусть в точке x0 она имеет производные до порядка n+1 включительно.
  • Многочлен Тейлора как многочлен наилучшего приближения функции в окрестности данной точки
  • Разложение основных элементарных функций по формуле Маклорена Часто бывает удобно для разложения функций f и g по формуле Тейлора использовать готовый набор разложений элементарных функций. Для этого следует в случае x0¹0 предварительно выполнить замену переменного t=x–x0; тогда x®x0 будет соответствовать t®0. Случай x®¥ заменой переменного x=1/t сводится к случаю t®0.
  • Исследование поведения функции Признак монотонности функции Для того чтобы непрерывная на некотором промежутке функция, дифференцируемая во всех его внутренних точках, возрастала (убывала) на этом промежутке, необходимо и достаточно, чтобы производная функции была во всех внутренних точках промежутка неотрицательна (неположительна).
  • Отыскание наибольших и наименьших значений функции Выпуклость и точки перегиба Всякий интервал, на котором функция (строго) выпукла вверх, соответственно вниз, называется интервалом (строгой) выпуклости вверх, соответственно вниз, этой функции. Теорема (необходимое условие, выполняющееся в точке перегиба). Если в точке перегиба функции существует вторая производная, то она равна нулю.
  • Общая схема построения графиков функции Асимптоты Построение графиков функций Изучение заданной функции и построение её графика целесообразно проводить в следующем порядке

Неопределенный интеграл лекции и задачи

  • Определение и свойства неопределенного интеграла Первообразная и неопределённый интеграл
  • В этом подразделе рассматривается задача отыскания функции, для которой заданная функция является производной.
  • Основные свойства интеграла Все рассматриваемые в этом пункте функции определены на некотором фиксированном промежутке D. Если функция F дифференцируема на некотором промежутке, то на нём   или, что то же самое, .
  • Табличные интегралы Операция нахождения неопределённого интеграла от данной функции, называемая интегрированием, является действием, обратным дифференцированию, т. е. операции нахождения по данной функции её производной. Поэтому всякая формула, выражающая производную той или иной функции, т. е. формула вида , может быть обращена (записана в виде интегральной формулы) .
  • Нахождение неопределенных интегралов Интегрирование подстановкой
  • Интегрирование по частям Если функции  и  дифференцируемы на некотором промежутке и на этом промежутке существует интеграл , то на нём существует и интеграл , причём .
  • Интегрирование рациональных функций Переходим к изучению вопроса об интегрировании рациональных функций вида , где  – некоторые многочлены.
  • Интегрирование трансцендентных функций

Производная и дифференциал интегрирование

Неопределенный интеграл лекции и задачи

  • Определение и свойства неопределенного интеграла Первообразная и неопределённый интеграл
  • В этом подразделе рассматривается задача отыскания функции, для которой заданная функция является производной.
  • Основные свойства интеграла Все рассматриваемые в этом пункте функции определены на некотором фиксированном промежутке D. Если функция F дифференцируема на некотором промежутке, то на нём   или, что то же самое, .
  • Табличные интегралы Операция нахождения неопределённого интеграла от данной функции, называемая интегрированием, является действием, обратным дифференцированию, т. е. операции нахождения по данной функции её производной. Поэтому всякая формула, выражающая производную той или иной функции, т. е. формула вида , может быть обращена (записана в виде интегральной формулы) .
  • Нахождение неопределенных интегралов Интегрирование подстановкой
  • Интегрирование по частям Если функции  и  дифференцируемы на некотором промежутке и на этом промежутке существует интеграл , то на нём существует и интеграл , причём .
  • Интегрирование рациональных функций Переходим к изучению вопроса об интегрировании рациональных функций вида , где  – некоторые многочлены.
  • Интегрирование трансцендентных функций

Начертательная геометрия

Проекционное черчение

  • Изложены теоретические основы начертательной геометрии и проекционного черчения, общие правила графического оформления чертежей по ГОСТ ЕСКД.
  • Комплексный чертеж в ортогональных проекциях. Точка Построение третьей проекции по двум заданным
  • Взаимное положение прямых Прямые могут быть параллельными, пересекаться или скрещиваться.
  • Плоскость общего положения наклонена к плоскостям проекций Проекции точки плоскости общего положения строят с помощью вспомогательной прямой
  • Конусность - это отношение разности диаметров оснований конуса к расстоянию между ними.
  • Простой разрез При выполнении разрезов следует учитывать существующие правила, условности и упрощения.
  • Нанесение геометрических размеров Здесь рассмотрены общие правила нанесения размеров на чертеже в соответствии с ГОСТ 2.307-68.
  • Дополнительные проекции Раздел посвящен построению дополнительных видов методом перемены плоскостей проекций на примерах определения натурального значения отрезка и плоских фигур, а также построения окружности, расположенной в проецирующей плоскости
  • Аксонометрические изображения Подробно анализируется построение изометрии предмета по ортогональным проекциям Приведены задания для самостоятельной работы с материалом Образование аксонометрических проекций
  • Свойства разверток. Метод вращения Развертки выполняются в качестве заготовок при изготовлении изделий из листового материала.

Термоядерный синтез Реакторная технология Атомные реакторы

Термоядерный синтез

Из четырех основных источников ядерной энергии в настоящее время удалось довести до промышленной реализации только два: энергия радиоактивного распада утилизируется в источниках тока, а цепная реакция деления - в атомных реакторах. Третий (наиболее мощный) источник ядерной энергии - аннигиляция элементарных частиц пока не вышел из области фантастики Термоядерные реакции - реакции слияния (синтеза) легких атомных ядер в более тяжелые, происходящие при очень высоких температурах (порядка десятков миллионов градусов и выше). Запасы дейтерия, который можно использовать в D - T реакции, практически неограниченны. В гидросфере Земли запасено 4*1013 т дейтерия, который может явиться основным термоядерным горючим.

Ядерные реакции в звездах Прежде чем рассматривать ядерные реакции в космосе, коротко остановимся на проблеме звездной эволюции. Окружающий нас мир состоит из различных химических элементов. Как образовались эти элементы в естественных условиях? В настоящее время общепризнанной является точка зрения, что элементы, из которых состоит Солнечная система, образовались в ходе звездной эволюции. Сжатие звездного вещества за счет гравитационных сил приводит к повышению температуры в центре звезды, что создает условия для начала ядерной реакции горения водорода Следующий этап термоядерной реакции - горение гелия В момент взрыва сверхновой температура резко повышается и во внешних слоях звезды происходят ядерные реакции так называемый взрывной нуклеосинтез. Эволюция Вселенной начинается с Большого Взрыва. В первые мгновения реализуется так называемая дозвездная стадия образования элементов, стадия образования легчайших элементов. Какая из этих двух реакций играет более существенную роль, зависит от температуры звезды. В звездах, имеющих массу, сравнимую с массой Солнца, и меньше, доминирует протон - протонная цепочка. Основное время эволюции звезды связано с горением водорода. Но на этой стадии звездной эволюции массивных звезд существенную роль начинают играть многочисленные реакции с участием нейтронов, протонов, а-частиц и 7- квантов Характерные особенности реакций горения углерода и кислорода следующие Продукты s-процесса должны эффективно выноситься во внешнюю оболочку звезды и попадать в межзвездную среду без дальнейших ядерных реакций. Один из аргументов в подтверждение r-процесса в звездах - наличие сдвоенных максимумов, коррелирующих с магическими числами нейтронов N = 50, 82 и 126 В углеродно-азотном цикле ядро углерода C служит как бы катализатором.

Физические основы ядерного синтеза Термодинамика ядерного синтеза То, что ядерные реакции синтеза могут давать высокий энергетический выигрыш понятно не только из астрономических данных. Поэтому, когда образуется среднее или лёгкое ядро при слиянии более лёгких ядер, должна освобождаться энергия, поскольку в новом ядре нуклоны сильнее связаны, чем в исходных ядрах. Реакции ядерного синтеза В термоядерных реакторах используется энергия, выделяющаяся при слиянии легких атомных ядер Термоядерные топлива Реакции с участием протонов, играющие основную роль в процессах ядерного синтеза на Солнце и других гомогенных звездах, в земных условиях не представляют практического интереса, поскольку имеют слишком малое сечение. Оказалось, что последнюю реакцию наиболее легко зажечь в земных условиях (требуется нагреть смесь дейтерия с тритием "всего" до 100 миллионов градусов)

Термоядерный синтез в земных условиях Термоядерный синтез в медленном реакторе Взрыв водородной бомбы (или другого типа термоядерного процесса) - неуправляемый термоядерный синтез, что делает его непригодным для энергетических целей. Принцип действия термоядерного реактора Реакция слияния легких ядер, цель которой - получение полезной энергии, называется управляемым термоядерным синтезом. Осуществляется он при температурах порядка сотен миллионов кельвинов. Такой процесс реализован пока только в лабораториях.

Магнитное удержание плазмы Во время реакции синтеза плотность горячего реагента должна оставаться на уровне, который обеспечивал бы достаточно высокий выход полезной энергии на единицу объема при давлении, которое в состоянии выдержать камера с плазмой. Термоядерные реакции протекают при высоких температурах

В состоянии плазмы находится подавляющая часть вещества Вселенной - звёзды, звёздные атмосферы, туманности галактические и межзвёздная среда. В магнитном поле с индукцией В на частицы плазмы действует Лоренца сила; в результате этого заряженные частицы плазмы вращаются с циклотронными частотами по ларморовским спиралям (кружкам). При описании плазмы с помощью уравнений магнитной гидродинамики она рассматривается как сплошная среда, в которой могут протекать токи

Спектр излучения низкотемпературной (например, газоразрядной) плазмы состоит из отдельных спектральных линий Чтобы удержать плазму, например, при температуре 108 К, ее нужно надежно термоизолировать. В принципе изолировать плазму от стенок камеры можно, поместив ее в сильное магнитное поле. Это обеспечивается силами, которые возникают при взаимодействии токов с магнитным полем в плазме. Системы с замкнутой магнитной конфигурацией Пинч-эффект появляется в токовом канале, например в цилиндре, заполненном проводящей средой. Электрическое поле приложено к противоположным концам цилиндра и действует по его оси. В системах открытой конфигурации проблема удержания плазмы в продольном направлении решается путем создания магнитного поля, силовые линии которого вблизи торцов камеры имеют вид сужающегося пучка

Установки с магнитным удержанием Одной из первых и самых простых попыток реализовать идею магнитного удержания является Z-пинч - плазменный шнур между двумя электродами, ток в котором создает азимутальное магнитное поле, призванное сжимать и удерживать плазму. Для удержания плазмы при помощи тороидального магнитного поля необходимо создать условия, при которых плазма не смещалась бы к стенкам тора

Токамак В установках типа токамак плазму создают внутри тороидальной камеры с помощью безэлектродного кольцевого разряда. С этой целью в плазменном сгустке создают электрический ток, и при этом, как у всякого тока, у него появлялось собственное магнитное поле - сгусток плазмы как бы сам становится магнитом. Теперь с помощью внешнего магнитного поля определенной конфигурации можно подвесить плазменное облако в центре камеры, не позволяя ему соприкасаться со стенками Основной нагрев идет за счет джоулева тепловыделения. Сильно нагреваются прежде всего электроны плазмы, менее - ионы. Передача энергии от электронов к ионам идет медленно (из-за малости потока энергии)

Омический нагрев плазмы в токамаке недостаточен для осуществления реакции термоядерного синтеза. Создание термоядерного реактора натолкнулось на ряд технологических трудностей

Стелларатор Здесь, как и в ТОКАМАКе, плазма тоже подвешена в магнитном поле, но тока в ней нет. Греют плазму в основном мощным радиоизлучением, а держат ее только сложной формы магнитные поля, созданные внешними катушками. Открытая ловушка В установке типа открытой ловушки (пробкотрон) в цилиндрическую вакуумную камеру, запертую магнитными пробками, точно выбрав направление, впрыскивают атомы, которые тормозятся в водородном газе и превращают его в горячую плазму. Удерживают ее магнитные поля сложной конфигурации. Чтобы не доводить дело до взрыва, термоядерная реакция должна протекать в малых дозах - в разреженной и очень нагретой дейтерий-тритиевой плазме Начальный этап работ характеризовался обилием идей и типов ловушек (пинчи, удержание высокочастотными полями, плазменные ускорители, способы нагрева плазмы и т. д.) К 1968 г. при омическом нагреве плазмы на токамаке Т-ЗА температуры электронов и ионов достигли 20 млн. и 4 млн. градусов соответственно - результат, в несколько раз превосходивший мировой уровень. В 1997 г., после завершения технического проекта реактора ИТЭР с термоядерной мощностью 1.5 ГВт, стороны решили изменить проект, чтобы сократить его стоимость с 8 до 4 млрд. долл.

В физической базе ИТЭРа, основанной на опыте десятков токамаков ведущих лабораторий мира, собраны результаты по удержанию плазмы, переходу в режимы улучшенного удержания, поведению плазмы в поверхностном слое, увлечению тока, нагреву электронов и ионов и т.д. Современные открытые магнитные системы исследуются под руководством академика Э.П.Круглякова в Институте ядерной физики им. Г.И.Будкера СО РАН на установках многопробочной ГОЛ-З, газодинамической ГДЛ и амбиполярной АМБАЛ-М, наиболее простых в инженерном отношении для реакторов, но сложных в отношении удержания.

Гидроэлектрические станции — это высокоэффективные источники электроэнергии. В большинстве случаев гидроэлектростанции представляют собой объекты комплексного назначения, обеспечивающие нужды электроэнергетики и других отраслей народного хозяйства: мелиорации земель, водного транспорта, водоснабжения, рыбного хозяйства и пр.

Сегодня лазер - неоспоримый лидер в работах по инерционному удержанию. В СССР исследования начались на многомодульной установке "Ангара-5-1", построенной в 1984 г. в филиале Института атомной энергии (теперь ТРИНИТИ) в Троицке

Термоядерный реактор - устройство для получения энергии за счет реакций синтеза легких атомных ядер, происходящих в плазме при очень высоких температурах (выше 108К). Основное требование, которому должен удовлетворять термоядерный реактор, заключается в том, чтобы энерговыделение в результате термоядерных реакций с избытком компенсировало затраты энергии от внешних источников на поддержание реакции. Термоядерный реактор характеризуется коэффициентом усиления мощности (добротностью) Q, равным отношению тепловой мощности реактора к мощности затрат на ее производство. Термоядерный реактор на DT-топливе в зависимости от материала бланкета может быть «чистым» или гибридным. Наиболее мощный современный ТОКАМАК JET (Joint European Torus - Объединенный Европейский Top), был создан в городе Абингдон недалеко от Оксфорда (Англия), в Научном Центре Кулхэм (Culham Science Centre). В конце 1999 г. в Англии начал работать Такамак MAST (Mega-Amp Spherical Tokamak - супермощный сферический токамак), разработанный в Научном Центре Кулхэм (Culham Science Centre). Этот реактор относится к новому типу термоядерных реакторов, так называемым низкоаспектным токамакам (аспект - отношение внешнего к внутреннему радиусов бублика).

Современные физические исследования позволяют глубже понять явления переносов и устойчивости, что постепенно учитывается в проекте. В вакуумной камере ИТЭРа сверхпроводящая магнитная система создает тороидальное магнитное поле напряженностью 5.3 Т и полоидальное поле, управляющее положением плазмы в камере Низкоаспектные (сферические) токамаки Казахстанский Токамак КТМ является экспериментальной термоядерной установкой для отработки задач материаловедения на предмет радиационной стойкости Дизайн магнитной конфигурации и методика работы обеспечат генерацию плазменный поток в диверторе 1-20 MW/m2. Во время замедления (в конструкционных материалах токамака, во вспомогательных системах, окружающих токамак, в бетоне стен и др.) энергия нейтронов уменьшается.
Импульсные системы Управляемый термоядерный синтез может быть достигнут не только на реакторах с магнитными ловушками, но и на установках инерционного удержания. Конкретный путь реализации лазерного термояда был указан Н.Г.Басовым и О.Н.Крохиным в 1964 - обжимать и нагревать D-T-мишени мощными лазерными пучками, самой природой предназначенными для быстрого ввода в малый объем огромной порции энергии. Это направление получило название лазерного термояда Пучковый термоядерный синтез Рентгеновский термоядерный синтез Один из вариантов пучкового термояда базируется на использовании пучка рентгеновского излучения. При сдавливании электрическим разрядом (Z-пинч) вольфрамовых проволок, окружающих дейтериевую мишень, проволоки испаряются, создавая мощный рентгеновский импульс, который сжимает и нагревает мишень. С середины 90-х гг. в Российском федеральном ядерном центре ВНИИТФ (г. Снежинск, ранее Челябинск-70) разрабатывается метод получения ТЯ-энергии путем взрывов атомных зарядов, инициирующих D-D-реакцию
Холодный термоядерный синтез Особняком стоит метод УТС, в котором не нужны горячая плазма, микро- и макровзрывы, вообще какой-либо разогрев. Это направление, получившее название холодного термояда, или, более правильно, мюонного катализа, было предложено А.Д.Сахаровым и Я.Б.Зельдовичем в 1957 г.
Включившиеся в исследования высококвалифицированные ученые из ведущих физических центров ряда стран мира пришли к однозначному выводу о беспочвенности надежд на возможность создания подобного источника энергии.
Безопасность установок УТС Достоверная оценка безопасности термоядерного реактора получена пока только в рамках проекта ИТЭР. В этом реакторе практически вся радиоактивность сосредоточена в твердых отходах (конструкционных материалах, бридере (бланкете) топлива и бериллии, если он есть в реакторе). Перспективы термоядерной энергетики
УТС достигнуть пока не удалось Приходится утешаться промежуточными результатами термоядерных исследований. Конечно, работы по термояду оказали положительное влияние на развитие науки и технологии. Физика горячей плазмы, построенная на основе электродинамики, астрофизики, газодинамики, физики твердого тела и газового разряда, обогатила эти научные дисциплины новыми разработками
Главными аргументами в пользу термоядерного синтеза как физической основы энергетики будущего в настоящее время являются следующие утверждения: Неограниченные запасы общедоступного топлива В термоядерном реакторе электрической мощностью 1000 Мвт (эл) (т. е. такой же, как у современных реакторов деления ВВЭР-1000 и РМБК-1000), где происходит около 1021 реакций синтеза в секунду, стационарно содержится до 1011 Кюри радиоактивности Другая серьёзная экологическая проблема связана с тритием. Использование в термоядерной энергетике какой-либо иной реакции, кроме синтеза дейтерия и трития, почти исключено. Между тем тритий - Р-активный радионуклид с периодом полураспада 12,4 года и высокой радиотоксичностью Отвлечемся на некоторое время от термояда. Известно, что как оружейный материал 239Pu гораздо более эффективен, нежели 235U.
Атомные реакторы на быстрых нейтронах в некоторых странах запрещают из-за накопления плутония, противопоставляя им термоядерные реакторы, как не производящие плутоний и в этом смысле не представляющие интерес для террористов.
Рассмотрим более подробно аварийные ситуации, которые могут возникнуть в процессе эксплуатации термоядерного реактора. Ядерные материалы и изделия Развитие ядерной индустрии невозможно без создания специальных материалов со специфическими (и уникальными!) свойствами. Ядерные материала можно разделить на два класса: функциональные и конструкционные. Сечение деления характеризует вероятность деления ядра нейтроном. От того, какая доля ядер не участвует в процессе деления, зависит выход энергии на один поглощенный нейтрон. Число нейтронов, испускаемых в одном акте деления, важно с точки зрения поддержания цепной реакции.

Керамическое топливо - ядерное топливо, состоящее из тугоплавких соединений, например, оксидов, карбидов, нитридов. Силумин - лёгкие литейные сплавы алюминия (основа) с кремнием (3 - 13%, иногда до 26%) и некоторыми другими элементами (Cu, Mn, Mg, Zn, Ti, Be).

Топливо для реакторов на тепловых нейтронах При правильном выборе замедлителя реактор на тепловых нейтронах может работать на любом топливе - от природного урана до обогащенного урана и плутония. Топливо для ВВЭР В топливных таблетках для реакторов ВВЭР-440 и ВВЭР-1000 в качестве выгорающего поглотителя используется гадолиний (содержание оксида гадолиния варьируется в интервале 3 - 8% масс). Существующая технология позволяет добиться гомогенного распределения гадолиния по топливной таблетке и образованием твердого раствора оксида гадолиния в оксиде урана. В топливных таблетках стремятся образовать однородную пористую структуру, избегая маленьких и больших пор, и добиться однородных размеров зерен. Топливо для реакторов на быстрых нейтронах В реакторах на быстрых нейтронах при подборе конструкционных и технологических материалов избегают применения веществ с низким массовым числом, которые могут замедлить нейтроны. Наилучшим замедлителем является водород, поскольку его масса почти равна массе нейтрона и, следовательно, нейтрон при соударении с водородом теряет наибольшее количество энергии. Поглотитель нейтронов - материал, с которым нейтроны интенсивно взаимодействуют посредством реакций, приводящих к исчезновению нейтронов как свободных частиц.

Теплоноситель - флюид (гелий, воздух, углекислый газ, вода, водяной пар, органическая жидкость, жидкий металл, расплав солей), циркулирующий через активную зону, чтобы вынести тепло, генерируемое в ней делением и радиоактивным распадом, к парогенераторам или теплообменникам, где это тепло передается теплоносителю второго контура. Под действием ионизирующего излучения происходит разложение воды (радиолиз) с участием следующих реакций Натрий является хорошим теплоносителем, но у него есть недостатки: в нем наводится радиоактивность, у него низкая теплоемкость, он химически активен и затвердевает при комнатной температуре

Тепловыделяющие элементы и топливные сборки Основной составной частью активной зоны ядерного энергетического реактора являются ТВЭЛы, собранные в тепловыделяющие сборки (ТВС) и содержащие определённое количество твёрдого ядерного топлива. По характеру топлива и оболочки различают: ТВЭЛы, в которых топливо и оболочка металлические, ТВЭЛы, состоящие из керамического топлива и металлической оболочки и полностью керамические ТВЭЛы, покрытые пленками из пироуглерода, включенные в графитовую матрицу.

ТВЭЛ и ТВС для ВВЭР В реакторе типа ВВЭР в качестве ядерного топлива используется спеченный диоксид урана с начальным обогащением ураном-235 в стационарном режиме в диапазоне от 2.4 до 4.4 % (масс). Полная загрузка реактора топливом - 75 тонн. ТВЭЛ для РБМК В качестве топлива в реакторах РБМК используется двуокись урана U. Для уменьшения размеров реактора содержание 235U в топливе предварительно повышается до 2,0 или 2,4 % на обогатительных комбинатах. Загрузка реактора ураном - 200 тонн. ТВС для реактора на быстрых нейтронах, БН600 - реактор на быстрых нейтронах с натриевым теплоносителем. Электрическая мощность 600 МВт. Проектная активная зона, состоявшая из тепловыделяющих сборок с обогащением по 235U 21% и 33%, эксплуатировалась с 1980 по 1986. Первые технологические схемы были основаны на методах порошковой металлургии. Отличительной особенностью этих методов получения микросферического керамического топлива является использование в качестве исходного материала порошка ядерного топлива, состав которого соответствует конечному продукту.

Конструкционные материалы Ядерными энергетическими называются установки, преобразующие ядерную энергию в работу с помощью рабочего тела - газа реального, например водяного пара, или псевдогаза - электронов твёрдого тела. Основным отличием ЯЭУ от обычных тепловых энергетических установок является наличие мощных радиационных полей, вызывающих структурные изменения в объёме материала и на поверхности и, как следствие этого, ухудшение свойств облучаемого материала. Рассмотрим условия работы ТВЭЛа - наиболее напряжённого узла реактора. Оболочка ТВЭЛаподвержена многообразному силовому воздействию, включающему вибрационные нагрузки, установочные усилия, внутреннее давление газообразных продуктов деления, радиальное давление топлива на оболочку, силу веса топливного сердечника, давление распухающего топлива, давление, вызванное распуханием оболочки, термические напряжения в оболочке, усилие от трения топлива в оболочке, внешнее давление теплоносителя

Корпус ядерного реактора В ядерных реакторах корпусного типа, работающих на водяных или газовых теплоносителях, корпус может быть или стальной, или комбинированный из стали и напряжённого бетона. Эксплуатационная стойкость конструкционного материала в условиях теплосмен, в магнитном и электрическом полях, в поле радиационного воздействия существенно зависит от сочетания физических свойств. Физико-химические свойства конструкционных материалов - это совокупность свойств, характеризующих степень химического взаимодействия материалов с окружающей технической средой ЯЭУ, т.е. с теплоносителями (водой, газами, жидкими металлами, солями металлов и др.), с контактирующими материалами (ядерным топливом и др.).

Материалы конструктивных элементов ЯЭУ Тепловыделяющие элементы. Конструкционные материалы ТВЭЛов реакторов на тепловых нейтронах должны обеспечить: минимальное искажение нейтронного поля; простоту конструкции и низкую стоимость оболочки; надёжную работу в течение всего периода расчётной компании; запланированное выгорание топлива без искажения размеров, формы и разрушения (разгерметизации оболочки); возможность переработки ядерного топлива. Материалы оболочки ТВЭЛов ядерных реакторов должны обладать термической и радиационной стабильностью, конструктивной прочностью и коррозионной стойкостью. Совершенствование конструкционных материалов ЯЭУ Конструкционные материалы современных ЯЭУ представляют собой сложные, многокомпонентные сплавы различных элементов. Эти сплавы содержат один или несколько элементов, определяющих основные свойства материала, составляющих его основу, и ряд лигирующих элементов, придающих основе недостающие эксплуатационные характеристики В основе формирования определённого структурно-фазового состояния материала лежит взаимодействие химических элементов (компонентов), составляющих данный материал, между собой.

Коррозионная стойкость материала Коррозией называют поверхностное разрушение металлов в результате воздействия окружающей среды, в основе которого лежат химические и физико-химические (электрохимические) процессы. Химическую и электрохимическую коррозию конструкционных материалов в зависимости от среды называют: газовой, в электролитах, в неэлектролитах, атмосферной, контактной и т. д. Коррозия в жидких средах Стабильность материала в условиях облучении Стадия накопления радиационных дефектов по мере увеличения флюенса представляется более управляемой, чем стадия их образования. Аннигиляция дефектов за счёт взаимной рекомбинации и ухода на стоки усиливается по мере увеличения температуры облучаемого материала С ростом энергии нейтрона эффект радиационного упрочнения увеличивается, а с увеличением температуры обучаемого материала выше 0,25Тпл снижается и при Т>0,6Тпл практически отсутствуют. Высокотемпературному радиационному охрупчиванию подвержены тугоплавкие металлы, коррозионно-стойкие стали и никелевые сплавы при температурах выше 0,45Тпл. Инкубационный уровень флюенса у чистых металлов (для Ni - это Ф=4*10) м меньше, чем у сплавов (для стали 1026 м-2); зависимость распухания от температуры имеет сложный характер с максимумом при (0,4 - 0,45)Тпл, причём распухание установлено в широком интервале температур от 0,25 до 0,55Тпл Примеси внедрения при оптимальной концентрации способствуют ускорению рекомбинации вакансий и примесных атомов, отравляют поры как стоки вакансий, дислокационные петли и дислокации, тормозя перемещение последних Под явлением радиационного роста понимается анизотропное изменение размеров кристаллов в условиях облучения без приложения внешней нагрузки.